미적분 예제

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

단계 1

적분을 $c$ 이 $2 x$ 과 $3 x + 1$ 사이의 값인 두 개의 적분으로 분할합니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 2

합의 법칙에 의해 $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 3

적분의 경계값을 바꿉니다.

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 4

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 5

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 5.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 5.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

단계 6

미적분학의 기본정리와 연쇄법칙에 의해 $x$ 에 대해 $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ 를 미분합니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 7

합의 법칙에 의해 $3 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 8

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 8.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 8.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9.2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9.2.2

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9.2.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

$2 (x)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9.2.3.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

단계 9.2.3.3

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$