미적분 예제

$\int x \arctan ({(x)}^{2}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \arctan (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

$\arctan (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\arctan (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \arctan (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$w = \arctan (u_{1})$ 이고 $dv = 1$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

단계 5

$u_{1}$ 와 $\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1})$

단계 6

먼저 $u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = {u_{1}}^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

${u_{1}}^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2} + 1]$

단계 6.1.2

합의 법칙에 의해 ${u_{1}}^{2} + 1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 6.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 6.1.4

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 u_{1} + 0$

단계 6.1.5

$2 u_{1}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 u_{1}$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

단계 7.2

$u_{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

단계 8

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

단계 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

단계 10

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (u_{1}) u_{1} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 11

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 11.1

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 11.2

$u_{2}$ 를 모두 ${u_{1}}^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {u_{1}}^{2} + 1 |)) + C$

단계 11.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| {(x^{2})}^{2} + 1 |)) + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 12.1.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 12.1.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{2 \cdot 2} + 1 |)) + C$

단계 12.1.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$

단계 12.1.2

$\ln (| x^{4} + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

단계 12.3

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{4} + 1 |)}{2}) + C$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

단계 12.5

$\arctan (x^{2}) x^{2}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2} + C$

단계 12.6

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 12.6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{2 \cdot 2} + C$

단계 12.6.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

단계 12.7

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)}{4} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (2 x^{2} \arctan (x^{2}) - \ln (| x^{4} + 1 |)) + C$