미적분 예제

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{4}{25}$ 와 ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

단계 3

$\frac{4}{25}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{4}{25}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

단계 4

먼저 $u = 5 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = 5 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$5 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $5 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.1.3.1

$5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $5 x$ 의 미분은 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.3.3

$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 4.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$5 + 0$

단계 4.1.4.2

$5$ 를 $0$ 에 더합니다.

$5$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

단계 5

$u^{\frac{5}{4}}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

단계 6

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{5}$ 에 $\frac{4}{25}$ 을 곱합니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

단계 7.2

$5$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{5}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ 을 $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2

간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$\frac{4}{25}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2.2

$\frac{4 x}{25}$ 와 ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2.3

$\frac{4}{9}$ 에 $\frac{4}{125}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2.4

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2.5

$9$ 에 $125$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

단계 9.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{25}{25}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

단계 9.2.7

$- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ 와 $\frac{25}{25}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

단계 9.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

단계 9.2.9

$u^{\frac{9}{4}}$ 와 $\frac{16}{1125}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

단계 9.2.10

$25$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

단계 9.2.11

$- 25$ 와 $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

단계 9.2.12

$16$ 에 $- 25$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

단계 9.2.13

$- 400 u^{\frac{9}{4}}$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

단계 9.2.14

공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.14.1

$1125$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

단계 9.2.14.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

단계 9.2.14.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.15

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.16

공통 분모를 가지는 분수로 $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{45}{45}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.17

$4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 와 $\frac{45}{45}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.19

$45$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

단계 9.2.20

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

단계 9.2.21

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ 에 $\frac{1}{25}$ 을 곱합니다.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

단계 9.2.22

$45$ 에 $25$ 을 곱합니다.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $5 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$