미적분 예제

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{500} 13^{x} d x + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.2

$13^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 입니다.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - \int_{1}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.4

$11^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 입니다.

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$500$ , $1$ 일 때, $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{13^{500}}{\ln (13)}) - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.2

$500$ , $1$ 일 때, $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 값을 계산합니다.

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3

간단히 합니다.

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단계 1.5.3.1

지수값을 계산합니다.

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.3

지수값을 계산합니다.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 을 곱합니다.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 을 곱합니다.

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.7

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $\ln (13) \ln (11)$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.5.3.7.1

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ 에 $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.7.2

$\frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ 에 $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.7.3

$\ln (13) \ln (11)$ 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (11) \ln (13)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 1.5.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

단계 2

$\int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

단계 2.2

$11^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 입니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

단계 2.3

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - \int_{2}^{500} 13^{x} d x$

단계 2.4

$13^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 입니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

단계 2.5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$500$ , $2$ 일 때, $\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 값을 계산합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + (\frac{11^{500}}{\ln (11)}) - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

단계 2.5.2

$500$ , $2$ 일 때, $\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 값을 계산합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

단계 2.5.3

간단히 합니다.

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단계 2.5.3.1

$11$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

단계 2.5.3.2

$13$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$

단계 2.5.3.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

단계 2.5.3.4

$- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ 와 $\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 을 묶습니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} + \frac{- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

단계 2.5.3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

단계 2.5.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ 을 표현하기 위해 $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)}$

단계 3.2

$\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ 에 $\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 을 곱합니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{(11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

단계 3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13) + (11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$