미적분 예제

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1 d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} 4 x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 2

$4$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{1}^{4} x^{3} d x + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} x^{4}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 와 $x^{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 2 x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 5

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 8

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} d x$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} d x$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{1}^{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$4 ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

단계 12.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + x]_{1}^{4}$

단계 12.3

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + x]_{1}^{4}$

단계 12.4

$4$ , $1$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$4 (\frac{4^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$4 (\frac{256}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.2

$256$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.1

$256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$4 (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$4 (\frac{64}{1} - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.2.2.4

$64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 (64 - \frac{1^{4}}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (64 - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.4

공통 분모를 가지는 분수로 $64$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$4 (64 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.5

$64$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{64 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$4 \frac{64 \cdot 4 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.7.1

$64$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 \frac{256 - 1}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.7.2

$256$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$4 (\frac{255}{4}) - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.8

$4$ 와 $\frac{255}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.9

$4$ 에 $255$ 을 곱합니다.

$\frac{1020}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.10

$1020$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.10.1

$1020$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 255}{4} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.10.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 255}{4 (1)} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{255}{1} - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.10.2.4

$255$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$255 - 2 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.11

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.12

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$255 - 2 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.13

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$255 - 2 \frac{64 - 1}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.14

$64$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$255 - 2 (\frac{63}{3}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.15

$63$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.15.1

$63$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$255 - 2 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$255 - 2 (\frac{21}{1}) + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.15.2.4

$21$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$255 - 2 \cdot 21 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.16

$- 2$ 에 $21$ 을 곱합니다.

$255 - 42 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.17

$255$ 에서 $42$ 을 뺍니다.

$213 + 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.18

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$213 + 3 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.19

$16$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.19.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.19.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.19.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$213 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$213 + 3 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.19.2.4

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$213 + 3 (8 - \frac{1^{2}}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.20

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$213 + 3 (8 - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.21

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$213 + 3 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.22

$8$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$213 + 3 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$213 + 3 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.24

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.24.1

$8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$213 + 3 \frac{16 - 1}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.24.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$213 + 3 (\frac{15}{2}) + 4 - 1$

단계 12.5.25

$3$ 와 $\frac{15}{2}$ 을 묶습니다.

$213 + \frac{3 \cdot 15}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.26

$3$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$213 + \frac{45}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.27

공통 분모를 가지는 분수로 $213$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$213 \cdot \frac{2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.28

$213$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{213 \cdot 2}{2} + \frac{45}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.29

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{213 \cdot 2 + 45}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.30

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.30.1

$213$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{426 + 45}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.30.2

$426$ 를 $45$ 에 더합니다.

$\frac{471}{2} + 4 - 1$

단계 12.5.31

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{471}{2} + 3$

단계 12.5.32

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{471}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

단계 12.5.33

$3$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{471}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

단계 12.5.34

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{471 + 3 \cdot 2}{2}$

단계 12.5.35

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.5.35.1

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{471 + 6}{2}$

단계 12.5.35.2

$471$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{477}{2}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{477}{2}$

소수 형태:

$238.5$

대분수 형식:

$238 \frac{1}{2}$

단계 14