미적분 예제

$\int_{1}^{4} 5 y \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} 5 y \cdot y^{\frac{1}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2

지수를 더하여 $y$ 에 $y^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

$y^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y) + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2.2

$y^{\frac{1}{2}}$ 에 $y$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.2.1

$y$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{4} 5 (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + 1} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{1 + 2}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 1.2.5

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{y} d y$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} 5 y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

단계 3

$5$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int_{1}^{4} y^{\frac{3}{2}} d y + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{3}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

단계 5

$\frac{2}{5}$ 와 $y^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 3 \sqrt{y} d y$

단계 6

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} \sqrt{y} d y$

단계 7

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{y}$ 을(를) $y^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 \int_{1}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $y^{\frac{1}{2}}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

단계 9

답을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{2}{3}$ 와 $y^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$5 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

단계 9.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ 값을 계산합니다.

$5 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

단계 9.2.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 값을 계산합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$5 (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$5 (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.5

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.7

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (\frac{64}{5} - \frac{2}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$5 \frac{64 - 2}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.9

$64$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$5 (\frac{62}{5}) + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.10

$5$ 와 $\frac{62}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.11

$5$ 에 $62$ 을 곱합니다.

$\frac{310}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.12

$310$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.12.1

$310$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 62}{5} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.12.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.12.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 62}{5 (1)} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 62}{5 \cdot 1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{62}{1} + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.12.2.4

$62$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.13

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.14

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.15

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.15.1

공약수로 약분합니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.15.2

수식을 다시 씁니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.16

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$62 + 3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.17

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

단계 9.2.3.18

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

단계 9.2.3.19

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$62 + 3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

단계 9.2.3.20

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$62 + 3 \frac{16 - 2}{3}$

단계 9.2.3.21

$16$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$62 + 3 (\frac{14}{3})$

단계 9.2.3.22

$3$ 와 $\frac{14}{3}$ 을 묶습니다.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

단계 9.2.3.23

$3$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$62 + \frac{42}{3}$

단계 9.2.3.24

$42$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.24.1

$42$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3}$

단계 9.2.3.24.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.3.24.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

단계 9.2.3.24.2.2

공약수로 약분합니다.

$62 + \frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

단계 9.2.3.24.2.3

수식을 다시 씁니다.

$62 + \frac{14}{1}$

단계 9.2.3.24.2.4

$14$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$62 + 14$

단계 9.2.3.25

$62$ 를 $14$ 에 더합니다.

$76$

단계 10