미적분 예제

$\int_{1}^{4} (1 - u) \sqrt{u} d u$

단계 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} (1 - u) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 2

$(1 - u) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{4} 1 u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u \cdot u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 2.3

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u \cdot u^{\frac{1}{2}}) d u$

단계 2.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - (u^{1} u^{\frac{1}{2}}) d u$

단계 2.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{1 + \frac{1}{2}} d u$

단계 2.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} d u$

단계 2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{2 + 1}{2}} d u$

단계 2.8

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} - u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4})$

단계 7

답을 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

단계 7.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}]_{1}^{4})$

단계 7.2.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 7.2.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.5

$\frac{2}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.6

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.7

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{16}{3} - \frac{2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.9

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16 - 2}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.10

$16$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 4^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.11

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.12

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.13

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.13.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.13.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.14

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.15

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{5}{2}}}{5})$

단계 7.2.3.16

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2 \cdot 1}{5})$

단계 7.2.3.17

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} - (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

단계 7.2.3.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{14}{3} - \frac{64 - 2}{5}$

단계 7.2.3.19

$64$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{14}{3} - \frac{62}{5}$

단계 7.2.3.20

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{14}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5}$

단계 7.2.3.21

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{62}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.2.3.22

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.22.1

$\frac{14}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.2.3.22.2

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62}{5} \cdot \frac{3}{3}$

단계 7.2.3.22.3

$\frac{62}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

단계 7.2.3.22.4

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{14 \cdot 5}{15} - \frac{62 \cdot 3}{15}$

단계 7.2.3.23

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{14 \cdot 5 - 62 \cdot 3}{15}$

단계 7.2.3.24

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.24.1

$14$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{70 - 62 \cdot 3}{15}$

단계 7.2.3.24.2

$- 62$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{70 - 186}{15}$

단계 7.2.3.24.3

$70$ 에서 $186$ 을 뺍니다.

$\frac{- 116}{15}$

단계 7.2.3.25

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{116}{15}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{116}{15}$

소수 형태:

$- 7.7\overline{3}$

대분수 형식:

$- 7 \frac{11}{15}$

단계 9