미적분 예제

$\int_{1}^{2} {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

단계 1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ 을 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

단계 1.2

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{2} x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

단계 1.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

단계 1.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 1.3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 1.3.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 1.3.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 1.3.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

단계 1.3.1.3

$\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.3.1

$\frac{1}{x}$ 에 $\frac{1}{x}$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

단계 1.3.1.3.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

단계 1.3.1.3.3

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

단계 1.3.1.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

단계 1.3.1.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{2} x \cdot x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{2} x^{1} x + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{1}^{2} x^{1} x^{1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{1}^{2} x^{1 + 1} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{1}^{2} x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} 2 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 6

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 6.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 6.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

단계 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ 와 $2 x]_{1}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} + - x^{- 1}]_{1}^{2}$

단계 8.1.2

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2}$ 와 $- x^{- 1}]_{1}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}]_{1}^{2}$

단계 8.2

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.1

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.3

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 4 - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.4

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.5

$4$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.7.1

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8 + 12}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.7.2

$8$ 를 $12$ 에 더합니다.

$\frac{20}{3} - 2^{- 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.8

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{20}{3} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.9

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{20}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.10

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.11

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.11.1

$\frac{20}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.11.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.11.3

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.11.4

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{20 \cdot 2}{6} - \frac{3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.12

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{20 \cdot 2 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.13

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.13.1

$20$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{40 - 3}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.13.2

$40$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.14

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.15

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.16

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.17

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.18

$2$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.19

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.20

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.20.1

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{1 + 6}{3} - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.20.2

$1$ 를 $6$ 에 더합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1^{- 1})$

단계 8.2.2.21

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot 1)$

단계 8.2.2.22

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1)$

단계 8.2.2.23

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})$

단계 8.2.2.24

$- 1$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{37}{6} - (\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})$

단계 8.2.2.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 1 \cdot 3}{3}$

단계 8.2.2.26

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.26.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - \frac{7 - 3}{3}$

단계 8.2.2.26.2

$7$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3}$

단계 8.2.2.27

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{4}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 8.2.2.28

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.28.1

$\frac{4}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 8.2.2.28.2

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{37}{6} - \frac{4 \cdot 2}{6}$

단계 8.2.2.29

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{37 - 4 \cdot 2}{6}$

단계 8.2.2.30

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.2.2.30.1

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{37 - 8}{6}$

단계 8.2.2.30.2

$37$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{29}{6}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{29}{6}$

소수 형태:

$4.8\overline{3}$

대분수 형식:

$4 \frac{5}{6}$

단계 10