미적분 예제

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{1}^{2} 2 e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{1}^{2} e^{- 4 x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 3

먼저 $u = - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$- 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 3.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 3.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 3.2

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 4 \cdot 1$

단계 3.3

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 4$

단계 3.4

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 4 \cdot 2$

단계 3.5

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 8$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = - 8$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int_{- 4}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 4.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{- 4}^{- 8} - \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{- 4}^{- 8} \frac{e^{u}}{4} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u) + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{4}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8.2

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 1)}{4} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8.2.2

공약수로 약분합니다.

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단계 8.2.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 8.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2} \int_{- 4}^{- 8} e^{u} d u + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

단계 11

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 11.1

$x^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

단계 11.2

${(x^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

단계 11.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $x^{- 2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $- x^{- 1}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{- 4}^{- 8} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 13

대입하여 간단히 합니다.

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단계 13.1

$- 8$ , $- 4$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

단계 13.2

$2$ , $1$ 일 때, $- x^{- 1}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} ((e^{- 8}) - e^{- 4}) - ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

단계 13.3

간단히 합니다.

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단계 13.3.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

단계 13.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + 1)$

단계 13.3.3

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

단계 13.3.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{- 1 + 2}{2}$

단계 13.3.5

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - \frac{1}{2}$

단계 13.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 13.3.7

$- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

단계 13.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- \frac{1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) \cdot 2 - 1}{2}$

단계 13.3.9

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 2 (\frac{1}{2}) (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.10

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{- 2}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.11

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.11.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.11.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.3.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{- 1}{1} (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 13.3.11.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1}{2}$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$- 1$ 을 $- 1 (1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)}{2}$

단계 14.2

$- (e^{- 8} - e^{- 4}) - 1 (1)$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

단계 14.3

$- (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ 을 $- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{- 1 (e^{- 8} - e^{- 4} + 1)}{2}$

단계 14.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{e^{- 8} - e^{- 4} + 1}{2}$

소수 형태:

$- 0.49100991 \dots$

단계 16