미적분 예제

$\int \sin^{5} (4 x) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{5} (u_{1}) \frac{1}{4} d u_{1}$

단계 2

$\sin^{5} (u_{1})$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sin^{5} (u_{1})}{4} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \sin^{5} (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$\sin^{4} (u_{1})$ 로 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \int \sin^{4} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 5

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 5.2

${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 6

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (u_{1})$ 를 $1 - \cos^{2} (u_{1})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int {(1 - \cos^{2} (u_{1}))}^{2} \sin (u_{1}) d u_{1}$

단계 7

먼저 $u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u_{2} = \cos (u_{1})$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$\cos (u_{1})$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

단계 7.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$- \sin (u_{1})$

단계 7.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int - {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2}$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (- \int {(1 - {u_{2}}^{2})}^{2} d u_{2})$

단계 9

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 을 전개합니다.

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단계 9.1

${(1 - {u_{2}}^{2})}^{2}$ 을 $(1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} (- \int (1 - {u_{2}}^{2}) (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 (1 - {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} (1 - {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 (- {u_{2}}^{2}) - {u_{2}}^{2} \cdot 1 - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.5

${u_{2}}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} (- {u_{2}}^{2}) d u_{2})$

단계 9.6

${u_{2}}^{2}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.7

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 + 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot 1 {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} - 1 \cdot - 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.10

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + 1 {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.11

${u_{2}}^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{2 + 2} d u_{2})$

단계 9.13

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - {u_{2}}^{2} - {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 9.14

$- {u_{2}}^{2}$ 에서 ${u_{2}}^{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 - 2 {u_{2}}^{2} + {u_{2}}^{4} d u_{2})$

단계 9.15

$- 2 {u_{2}}^{2}$ 와 ${u_{2}}^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (- \int 1 + {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 9.16

$1$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} (- \int {u_{2}}^{4} - 2 {u_{2}}^{2} + 1 d u_{2})$

단계 10

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (- (\int {u_{2}}^{4} d u_{2} + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

단계 11

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{4}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C + \int - 2 {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

단계 12

$- 2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int d u_{2}))$

단계 13

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int d u_{2}))$

단계 14

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + u_{2} + C))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

간단히 합니다.

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단계 15.1.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

단계 15.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 ${u_{2}}^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} + C - 2 (\frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C) + u_{2} + C))$

단계 15.2

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{{u_{2}}^{5}}{5} - \frac{2 {u_{2}}^{3}}{3} + u_{2})) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 16.1

$u_{2}$ 를 모두 $\cos (u_{1})$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (u_{1})}{5} - \frac{2 \cos^{3} (u_{1})}{3} + \cos (u_{1}))) + C$

단계 16.2

$u_{1}$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{\cos^{5} (4 x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (4 x)}{3} + \cos (4 x))) + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (- (\frac{1}{5} \cos^{5} (4 x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (4 x) + \cos (4 x))) + C$