미적분 예제

$\int_{1}^{- 1} {(12 x + 11)}^{2} d x$

단계 1

먼저 $u = 12 x + 11$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 12 d x$ 이므로 $\frac{1}{12} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 12 x + 11$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$12 x + 11$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [12 x + 11]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $12 x + 11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $12 x$ 의 미분은 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.1.3.3

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$12 + \frac{d}{d x} [11]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$11$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $11$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $11$ 입니다.

$12 + 0$

단계 1.1.4.2

$12$ 를 $0$ 에 더합니다.

$12$

단계 1.2

$u = 12 x + 11$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 12 \cdot 1 + 11$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 12 + 11$

단계 1.3.2

$12$ 를 $11$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 23$

단계 1.4

$u = 12 x + 11$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 12 \cdot - 1 + 11$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$12$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 12 + 11$

단계 1.5.2

$- 12$ 를 $11$ 에 더합니다.

$u_{upper} = - 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 23$

$u_{upper} = - 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{23}^{- 1} u^{2} \frac{1}{12} d u$

단계 2

$u^{2}$ 와 $\frac{1}{12}$ 을 묶습니다.

$\int_{23}^{- 1} \frac{u^{2}}{12} d u$

단계 3

$\frac{1}{12}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{12}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{12} \int_{23}^{- 1} u^{2} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{12} \frac{1}{3} u^{3}]_{23}^{- 1}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ , $23$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{3} {(- 1)}^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{12} (\frac{1}{3} \cdot - 1 - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

단계 5.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{12} (\frac{- 1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

단계 5.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 23^{3})$

단계 5.2.4

$23$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 12167)$

단계 5.2.5

$12167$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - 12167 (\frac{1}{3}))$

단계 5.2.6

$- 12167$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} + \frac{- 12167}{3})$

단계 5.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{12} (- \frac{1}{3} - \frac{12167}{3})$

단계 5.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 1 - 12167}{3}$

단계 5.2.9

$- 1$ 에서 $12167$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 12168}{3}$

단계 5.2.10

$- 12168$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.10.1

$- 12168$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3}$

단계 5.2.10.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 (1)}$

단계 5.2.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{3 \cdot - 4056}{3 \cdot 1}$

단계 5.2.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{12} \cdot \frac{- 4056}{1}$

단계 5.2.10.2.4

$- 4056$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{12} \cdot - 4056$

단계 5.2.11

$\frac{1}{12}$ 와 $- 4056$ 을 묶습니다.

$\frac{- 4056}{12}$

단계 5.2.12

$- 4056$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.12.1

$- 4056$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot - 338}{12}$

단계 5.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.12.2.1

$12$ 에서 $12$ 를 인수분해합니다.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 (1)}$

단계 5.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 \cdot - 338}{12 \cdot 1}$

단계 5.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 338}{1}$

단계 5.2.12.2.4

$- 338$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 338$

단계 6