미적분 예제

$\int_{- 1}^{1} e^{- 2 x} d x$

단계 1

먼저 $u = - 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- 2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

단계 1.1.2

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2$

단계 1.2

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 2 \cdot - 1$

단계 1.3

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u = - 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

단계 1.5

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = - 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{2}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{2}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{2} \int_{2}^{- 2} e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{2} e^{u}]_{2}^{- 2}$

단계 6

$- 2$ , $2$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{2} (e^{- 2} - e^{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{2} e^{- 2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

단계 7.2

$e^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- 2}}{2} - \frac{1}{2} (- e^{2})$

단계 7.3

$- \frac{1}{2} (- e^{2})$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 2}}{2} + 1 (\frac{1}{2}) e^{2}$

단계 7.3.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} e^{2}$

단계 7.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2}$

단계 7.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{e^{2}}{2}$

소수 형태:

$3.62686040 \dots$

단계 9