미적분 예제

$\int_{0}^{π} x \cos (3 x) d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \cos (3 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x))]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$x \frac{\sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (3 x) d x)$

단계 4

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 4.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 4.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 4.2

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 4.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 π$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

단계 5

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

단계 7.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

단계 8

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3}]_{0}^{π} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

단계 9

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$π$ , $0$ 일 때, $\frac{x \sin (3 x)}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

단계 9.2

$3 π$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$(\frac{π \sin (3 π)}{3}) - \frac{0 \sin (3 \cdot 0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.1

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0 \sin (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.2

$0$ 에 $\sin (0)$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.3

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{0}{1} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + 0 - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.5

$\frac{π \sin (3 π)}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} ((- \cos (3 π)) + \cos (0))$

단계 9.3.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot \frac{3}{3}$

단계 9.3.7

$- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \sin (3 π)}{3} + \frac{- \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

단계 9.3.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0)) \cdot 3}{3}$

단계 9.3.9

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{π \sin (3 π) - 3 (\frac{1}{9}) (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.10

$- 3$ 와 $\frac{1}{9}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 3}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.11

$- 3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.11.1

$- 3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 (- 1)}{9} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.3.11.2.1

$9$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{π \sin (3 π) + \frac{- 1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 9.3.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + \cos (0))}{3}$

단계 10

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{π \sin (3 π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{π \sin (π) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

단계 11.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\frac{π \sin (0) - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

단계 11.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π \cdot 0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

단계 11.4

$π$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (3 π) + 1)}{3}$

단계 11.5

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)}{3}$

단계 11.6

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)}{3}$

단계 11.7

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)}{3}$

단계 11.8

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (- - 1 + 1)}{3}$

단계 11.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} (1 + 1)}{3}$

단계 11.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{0 - \frac{1}{3} \cdot 2}{3}$

단계 11.11

$- \frac{1}{3} \cdot 2$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.11.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{0 - 2 (\frac{1}{3})}{3}$

단계 11.11.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{0 + \frac{- 2}{3}}{3}$

단계 11.12

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{0 - \frac{2}{3}}{3}$

단계 11.13

$0$ 에서 $\frac{2}{3}$ 을 뺍니다.

$\frac{- \frac{2}{3}}{3}$

단계 11.14

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$

단계 11.15

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.15.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 \cdot 3}$

단계 11.15.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{9}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{2}{9}$

소수 형태:

$- 0.\overline{2}$