미적분 예제

$\int_{0}^{π} \sin (4 x) d x$

단계 1

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 1.2

$u = 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 \cdot 0$

단계 1.3

$4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 π$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{4 π} \sin (u) \frac{1}{4} d u$

단계 2

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{4 π} \frac{\sin (u)}{4} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{4 π} \sin (u) d u$

단계 4

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{1}{4} - \cos (u)]_{0}^{4 π}$

단계 5

$4 π$ , $0$ 일 때, $- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + \cos (0))$

단계 6

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} (- \cos (4 π) + 1)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{1}{4} (- \cos (0) + 1)$

단계 7.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{4} (- 1 \cdot 1 + 1)$

단계 7.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (- 1 + 1)$

단계 7.4

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 0$

단계 7.5

$\frac{1}{4}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$