미적분 예제

$\int_{0}^{π} {(1 + \cos (7 t))}^{2} \sin (7 t) d t$

단계 1

먼저 $u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 7 \sin (7 t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{7} d u_{2} = \sin (7 t) d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \cos (7 t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [1 + \cos (7 t)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \cos (7 t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$f (t) = \cos (t)$ , $g (t) = 7 t$ 일 때 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 는 $f' (g (t)) g' (t)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $7 t$ 로 바꿉니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [7 t]$

단계 1.1.3.1.2

$\cos (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \sin (u_{1})$ 입니다.

$0 - \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [7 t]$

단계 1.1.3.1.3

$u_{1}$ 를 모두 $7 t$ 로 바꿉니다.

$0 - \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t]$

단계 1.1.3.2

$7$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $7 t$ 의 미분은 $7 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0 - \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t])$

단계 1.1.3.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \sin (7 t) (7 \cdot 1)$

단계 1.1.3.4

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - \sin (7 t) \cdot 7$

단계 1.1.3.5

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 7 \sin (7 t)$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $7 \sin (7 t)$ 을 뺍니다.

$- 7 \sin (7 t)$

단계 1.2

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + \cos (7 \cdot 0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.3.1.1

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

단계 1.3.1.2

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1 + 1$

단계 1.3.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u_{2} = 1 + \cos (7 t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + \cos (7 π)$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

단계 1.5.1.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

단계 1.5.1.3

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

단계 1.5.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 1 - 1$

단계 1.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

단계 2.2

${u_{2}}^{2}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{0} - \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

단계 3

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{2}^{0} \frac{{u_{2}}^{2}}{7} d u_{2}$

단계 4

$\frac{1}{7}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{7} \int_{2}^{0} {u_{2}}^{2} d u_{2})$

단계 5

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{7} \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}]_{2}^{0}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$0$ , $2$ 일 때, $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{7} ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- \frac{1}{7} (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

단계 6.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

단계 6.2.3

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{1}{3} \cdot 8)$

단계 6.2.4

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{7} (0 - 8 (\frac{1}{3}))$

단계 6.2.5

$- 8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{7} (0 + \frac{- 8}{3})$

단계 6.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{7} (0 - \frac{8}{3})$

단계 6.2.7

$0$ 에서 $\frac{8}{3}$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{7} (- \frac{8}{3})$

단계 6.2.8

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{7}) \frac{8}{3}$

단계 6.2.9

$\frac{1}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{8}{3}$

단계 6.2.10

$\frac{1}{7}$ 에 $\frac{8}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{7 \cdot 3}$

단계 6.2.11

$7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{21}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{8}{21}$

소수 형태:

$0.\overline{380952}$