미적분 예제

$\int_{0}^{3} e^{- 7 x} d x$

단계 1

먼저 $u = - 7 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 7 d x$ 이므로 $- \frac{1}{7} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - 7 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- 7 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 7 x]$

단계 1.1.2

$- 7$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 7 x$ 의 미분은 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 7 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 7 \cdot 1$

단계 1.1.4

$- 7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 7$

단계 1.2

$u = - 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 7 \cdot 0$

단계 1.3

$- 7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = - 7 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 7 \cdot 3$

단계 1.5

$- 7$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = - 21$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 21$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} \frac{1}{- 7} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{0}^{- 21} e^{u} (- \frac{1}{7}) d u$

단계 2.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{- 21} - \frac{e^{u}}{7} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{0}^{- 21} \frac{e^{u}}{7} d u$

단계 4

$\frac{1}{7}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{7}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{7} \int_{0}^{- 21} e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{1}{7} e^{u}]_{0}^{- 21}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 21$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{1}{7} ((e^{- 21}) - e^{0})$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1 \cdot 1)$

단계 6.2.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{7} (e^{- 21} - 1)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{7} e^{- 21} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

단계 7.2

$e^{- 21}$ 와 $\frac{1}{7}$ 을 묶습니다.

$- \frac{e^{- 21}}{7} - \frac{1}{7} \cdot - 1$

단계 7.3

$- \frac{1}{7} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 7.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 21}}{7} + 1 (\frac{1}{7})$

단계 7.3.2

$\frac{1}{7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{- 21}}{7} + \frac{1}{7}$

단계 7.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $e^{- 21}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{7 e^{21}} + \frac{1}{7}$

소수 형태:

$0.14285714 \dots$

단계 9