미적분 예제

$\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = \sqrt{x + 1}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

단계 3

$\frac{2}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{2}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - (\frac{2}{3} \int_{0}^{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

단계 4

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 4.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 4.3

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 4.4

$u = x + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 + 1$

단계 4.5

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 4.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 4.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \int_{1}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{0}^{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

단계 6

대입하여 간단히 합니다.

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단계 6.1

$3$ , $0$ 일 때, $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

단계 6.2

$4$ , $1$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{3 (2 {(3 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3

간단히 합니다.

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단계 6.3.1

$3$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{3 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{3 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.3

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{3 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.5

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{3 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.6

$2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.7

$3$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$\frac{48}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8

$48$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.8.1

$48$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 16}{3} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8.2

공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.8.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{3 \cdot 16}{3 (1)} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 \cdot 16}{3 \cdot 1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{16}{1} - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.8.2.4

$16$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$16 - \frac{0 (2 {(0 + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.9

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.10

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$16 - \frac{0 (2 \cdot 1)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.11

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{0 \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.12

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.13.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$16 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.13.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.2

공약수로 약분합니다.

$16 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.3

수식을 다시 씁니다.

$16 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.13.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$16 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.14

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$16 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.15

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$16 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.16

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.17

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.18

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.3.18.1

공약수로 약분합니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.18.2

수식을 다시 씁니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.19

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.20

$\frac{2}{5}$ 와 $32$ 을 묶습니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.21

$2$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}})$

단계 6.3.22

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1)$

단계 6.3.23

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5})$

단계 6.3.24

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64 - 2}{5}$

단계 6.3.25

$64$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$16 - \frac{2}{3} \cdot \frac{62}{5}$

단계 6.3.26

$\frac{62}{5}$ 에 $\frac{2}{3}$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{62 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.27

$62$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{124}{5 \cdot 3}$

단계 6.3.28

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$16 - \frac{124}{15}$

단계 6.3.29

공통 분모를 가지는 분수로 $16$ 을 표현하기 위해 $\frac{15}{15}$ 을 곱합니다.

$16 \cdot \frac{15}{15} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.30

$16$ 와 $\frac{15}{15}$ 을 묶습니다.

$\frac{16 \cdot 15}{15} - \frac{124}{15}$

단계 6.3.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{16 \cdot 15 - 124}{15}$

단계 6.3.32

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.3.32.1

$16$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$\frac{240 - 124}{15}$

단계 6.3.32.2

$240$ 에서 $124$ 을 뺍니다.

$\frac{116}{15}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{116}{15}$

소수 형태:

$7.7\overline{3}$

대분수 형식:

$7 \frac{11}{15}$

단계 8