미적분 예제

$\int_{0}^{\ln (2)} \frac{e^{x} + e^{- x}}{3} d x$

단계 1

$\frac{1}{3}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (2)} e^{x} + e^{- x} d x$

단계 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} (\int_{0}^{\ln (2)} e^{x} d x + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

단계 3

$e^{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $e^{x}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{\ln (2)} e^{- x} d x)$

단계 4

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 4.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 4.2

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0$

단계 4.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 4.4

$u = - x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \ln (2)$

단계 4.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \ln (2)$

단계 4.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} + \int_{0}^{- \ln (2)} - e^{u} d u)$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - \int_{0}^{- \ln (2)} e^{u} d u)$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (e^{x}]_{0}^{\ln (2)} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\ln (2)$ , $0$ 일 때, $e^{x}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - (e^{u}]_{0}^{- \ln (2)}))$

단계 7.2

$- \ln (2)$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} ((e^{\ln (2)}) - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

단계 7.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{3} (2 - e^{0} - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

단계 7.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} (2 - 1 \cdot 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

단계 7.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (2 - 1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

단계 7.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (1 - ((e^{- \ln (2)}) - e^{0}))$

단계 7.3.5

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1 \cdot 1))$

단계 7.3.6

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{- \ln (2)} - 1))$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.1.1

$- 1$ 를 로그 안으로 옮겨 $- \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{3} (1 - (e^{\ln (2^{- 1})} - 1))$

단계 8.1.1.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{1}{3} (1 - (2^{- 1} - 1))$

단계 8.1.1.3

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1))$

단계 8.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}))$

단계 8.1.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} (1 - (\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}))$

단계 8.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 1 \cdot 2}{2})$

단계 8.1.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 8.1.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{1 - 2}{2})$

단계 8.1.5.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} (1 - \frac{- 1}{2})$

단계 8.1.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{3} (1 - - \frac{1}{2})$

단계 8.1.7

$- - \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1 + 1 (\frac{1}{2}))$

단계 8.1.7.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (1 + \frac{1}{2})$

단계 8.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

단계 8.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 + 1}{2}$

단계 8.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 8.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}$

단계 8.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2}$

소수 형태:

$0.5$

단계 10