미적분 예제

$\int_{0}^{\ln (2)} 2 e^{3 x} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\ln (2)} e^{3 x} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.2

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 2.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 \ln (2)$

단계 2.5

간단히 합니다.

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단계 2.5.1

$3$ 를 로그 안으로 옮겨 $3 \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

$u_{upper} = \ln (2^{3})$

단계 2.5.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (8)$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} \frac{1}{3} d u$

단계 3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{0}^{\ln (8)} \frac{e^{u}}{3} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u)$

단계 5

$\frac{1}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\ln (8)} e^{u} d u$

단계 6

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{2}{3} e^{u}]_{0}^{\ln (8)}$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

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단계 7.1

$\ln (8)$ , $0$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{3} ((e^{\ln (8)}) - e^{0})$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$\frac{2}{3} (8 - e^{0})$

단계 7.2.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$\frac{2}{3} (8 - 1 \cdot 1)$

단계 7.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} (8 - 1)$

단계 7.2.4

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2}{3} \cdot 7$

단계 7.2.5

$\frac{2}{3}$ 와 $7$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 7}{3}$

단계 7.2.6

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{14}{3}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{14}{3}$

소수 형태:

$4.\overline{6}$

대분수 형식:

$4 \frac{2}{3}$

단계 9