미적분 예제

$\int_{0}^{8} \frac{1}{\sqrt[4]{1 + x}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $1 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 1.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 1 + 0$

단계 1.3

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 1 + x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1 + 8$

단계 1.5

$1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{9} \frac{1}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{4}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{9} {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{9} u^{\frac{- 1}{4}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{9} u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}]_{1}^{9}$

단계 4

대입하여 간단히 합니다.

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단계 4.1

$9$ , $1$ 일 때, $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{4}{3} \cdot 9^{\frac{3}{4}}) - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$\frac{4}{3}$ 와 $9^{\frac{3}{4}}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{3}{4}}$

단계 4.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3} \cdot 1$

단계 4.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4}{3}$

소수 형태:

$5.59486989 \dots$

단계 6