미적분 예제

$\int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} (2 x) d x$

단계 1

${(x^{2} + 1)}^{10}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{0}^{1} 2 {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

단계 2

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{1} {(x^{2} + 1)}^{10} x d x$

단계 3

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 3.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 3.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 3.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 3.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 3.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

단계 3.5

간단히 합니다.

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단계 3.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 3.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{2} d u$

단계 4

$u^{10}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{2} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

단계 6.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 6.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{2} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

단계 6.2.2

수식을 다시 씁니다.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

단계 6.3

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{10}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{11} u^{11}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

단계 8

대입하여 간단히 합니다.

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단계 8.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{11} u^{11}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$2$ 를 $11$ 승 합니다.

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

단계 8.2.2

$\frac{1}{11}$ 와 $2048$ 을 묶습니다.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

단계 8.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

단계 8.2.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

단계 8.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2048 - 1}{11}$

단계 8.2.6

$2048$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{2047}{11}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2047}{11}$

소수 형태:

$186.\overline{09}$

대분수 형식:

$186 \frac{1}{11}$

단계 10