미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{4} - 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{4} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 x^{3} d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{4} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{4} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4} - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{4} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 4$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$4 x^{3} + 0$

단계 1.1.5

$4 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 x^{3}$

단계 1.2

$u = x^{4} - 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{4} - 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 - 1$

단계 1.3.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 1.4

$u = x^{4} - 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{4} - 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 - 1$

단계 1.5.2

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

단계 2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int_{- 1}^{0} \frac{1}{4 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{0} \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{- 1}^{0}$

단계 5

$0$ , $- 1$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 1 |))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$

단계 6.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 1 |})}{4}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $0$ 사이의 거리는 $0$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 1 |})}{4}$

단계 7.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 1$ 과 $0$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{0}{1})}{4}$

단계 7.3

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (0)}{4}$

단계 7.4

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\ln (0)}{4}$

단계 8

0의 자연로그는 정의되지 않습니다.

정의되지 않음