미적분 예제

$\int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{8 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

단계 1

$8$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 \int_{0}^{\sqrt{15}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} d x$

단계 2

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 2.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 2.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 2.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 2.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = {\sqrt{15}}^{2} + 1$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

${\sqrt{15}}^{2}$ 을 $15$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{15}$ 을(를) $15^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{upper} = {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

단계 2.5.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{upper} = 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

단계 2.5.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

단계 2.5.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 15^{\frac{2}{2}} + 1$

단계 2.5.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 15^{1} + 1$

단계 2.5.1.5

지수값을 계산합니다.

$u_{upper} = 15 + 1$

단계 2.5.2

$15$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 16$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 3.2

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$8 \int_{1}^{16} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 4

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$8 (\frac{1}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.1.2

$8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.1

$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.1.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.1.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.1.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{4}{1} \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.1.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$4 \int_{1}^{16} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 5.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$4 \int_{1}^{16} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 5.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 5.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$4 \int_{1}^{16} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 5.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \int_{1}^{16} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{16})$

단계 7

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$16$ , $1$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$4 ((2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 (2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$4 (2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$4 (2 \cdot 4^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.4

지수값을 계산합니다.

$4 (2 \cdot 4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.5

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$4 (8 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

단계 7.2.6

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 (8 - 2 \cdot 1)$

단계 7.2.7

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 (8 - 2)$

단계 7.2.8

$8$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$4 \cdot 6$

단계 7.2.9

$4$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$24$

단계 8