미적분 예제

\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (3 t) d t$

단계 1

먼저

u = 3 t

$u = 3 t$ 로 정의합니다. 그러면

d u = 3 d t

$d u = 3 d t$ 이므로

\frac{1}{3} d u = d t

$\frac{1}{3} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을

u

$u$ 와

d

$d$

u

$u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

u = 3 t

$u = 3 t$ 로 둡니다.

\frac{d u}{d t}

$\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

3 t

$3 t$ 를 미분합니다.

\frac{d}{d t} [3 t]

$\frac{d}{d t} [3 t]$

단계 1.1.2

3

$3$ 은

t

$t$ 에 대해 일정하므로

t

$t$ 에 대한

3 t

$3 t$ 의 미분은

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

3 \frac{d}{d t} [t]

$3 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3

n = 1

$n = 1$ 일 때

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

3 \cdot 1

$3 \cdot 1$

단계 1.1.4

3

$3$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

3

$3$

3

$3$

단계 1.2

u = 3 t

$u = 3 t$ 의

t

$t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

u_{lower} = 3 \cdot 0

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 1.3

3

$3$ 에

0

$0$ 을 곱합니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

u = 3 t

$u = 3 t$ 의

t

$t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

단계 1.5

3

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

공약수로 약분합니다.

u_{upper} = 3 \frac{π}{3}

$u_{upper} = 3 \frac{π}{3}$

단계 1.5.2

수식을 다시 씁니다.

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

단계 1.6

u_{lower}

$u_{lower}$ ,

u_{upper}

$u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

u_{lower} = 0

$u_{lower} = 0$

u_{upper} = π

$u_{upper} = π$

단계 1.7

u

$u$ 와

d u

$d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u

$\int_{0}^{π} \sin (u) \frac{1}{3} d u$

단계 2

\sin (u)

$\sin (u)$ 와

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (u)}{3} d u$

단계 3

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 은

u

$u$ 에 대해 상수이므로,

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u

$\frac{1}{3} \int_{0}^{π} \sin (u) d u$

단계 4

\sin (u)

$\sin (u)$ 를

u

$u$ 에 대해 적분하면

- \cos (u)

$- \cos (u)$ 입니다.

\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}

$\frac{1}{3} - \cos (u)]_{0}^{π}$

단계 5

π

$π$ ,

0

$0$ 일 때,

- \cos (u)

$- \cos (u)$ 값을 계산합니다.

\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + \cos (0))$

단계 6

\cos (0)

$\cos (0)$ 의 정확한 값은

1

$1$ 입니다.

\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)

$\frac{1}{3} (- \cos (π) + 1)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)

$\frac{1}{3} (- - \cos (0) + 1)$

단계 7.2

\cos (0)

$\cos (0)$ 의 정확한 값은

1

$1$ 입니다.

\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)

$\frac{1}{3} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

단계 7.3

- 1

$- 1$ 에

1

$1$ 을 곱합니다.

\frac{1}{3} (- - 1 + 1)

$\frac{1}{3} (- - 1 + 1)$

단계 7.4

- 1

$- 1$ 에

- 1

$- 1$ 을 곱합니다.

\frac{1}{3} (1 + 1)

$\frac{1}{3} (1 + 1)$

단계 7.5

1

$1$ 를

1

$1$ 에 더합니다.

\frac{1}{3} \cdot 2

$\frac{1}{3} \cdot 2$

단계 7.6

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ 와

2

$2$ 을 묶습니다.

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

\frac{2}{3}

$\frac{2}{3}$

소수 형태:

0.\overline{6}

$0.\overline{6}$