미적분 예제

$\int x arccot (x) d x$

단계 1

$u = arccot (x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$arccot (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$arccot (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

단계 2.2

$arccot (x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} (- \frac{1}{1 + x^{2}}) d x$

단계 3

$\frac{1}{2} \cdot - 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2} \cdot - 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \cdot - 1 \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

간단히 합니다.

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단계 4.1.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (\frac{- 1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

단계 4.1.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int x^{2} (\frac{1}{1 + x^{2}}) d x)$

단계 4.1.3

$x^{2}$ 와 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} - (- \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

단계 4.1.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x)$

단계 4.1.5

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} d x$

단계 4.2

$1$ 와 $x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 1} d x$

단계 5

$x^{2}$ 을 $x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

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단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 5.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$1$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$1$
									-	$1$

단계 5.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (\int d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 7

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C + \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 8

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x)$

단계 9

식을 간단히 합니다.

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단계 9.1

$x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x)$

단계 9.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x)$

단계 10

$\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\arctan (x) + C$ 입니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} (x + C - (\arctan (x) + C))$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{arccot (x) x^{2}}{2} + \frac{x}{2} - \frac{\arctan (x)}{2} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} arccot (x) x^{2} + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \arctan (x) + C$