미적분 예제

$\int x {(3 x + 8)}^{11} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x + 8$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x + 8$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x + 8$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x + 8]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x + 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [8]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $8$ 입니다.

$3 + 0$

단계 1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) u^{11} \frac{1}{3} d u$

단계 2

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{11}$ 을 묶습니다.

$\int (\frac{u}{3} - \frac{8}{3}) \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.2

$\frac{u}{3}$ 에 $\frac{u^{11}}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u \cdot u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u^{11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{1 + 11}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.5

$1$ 를 $11$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{12}}{3 \cdot 3} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.6

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8}{3} \cdot \frac{u^{11}}{3} d u$

단계 3.7

$- \frac{8}{3}$ 와 $\frac{u^{11}}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{3 \cdot 3} d u$

단계 3.8

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{12}}{9} - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{12}}{9} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

단계 5

$\frac{1}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int u^{12} d u + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{12}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{13} u^{13}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) + \int - \frac{8 u^{11}}{9} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \int \frac{8 u^{11}}{9} d u$

단계 8

$\frac{8}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{8}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - (\frac{8}{9} \int u^{11} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{11}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{12} u^{12}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (\frac{1}{13} u^{13} + C) - \frac{8}{9} (\frac{1}{12} u^{12} + C)$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

단계 10.2

간단히 합니다.

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단계 10.2.1

$\frac{1}{9}$ 에 $\frac{1}{13}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9 \cdot 13} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

단계 10.2.2

$9$ 에 $13$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{12} u^{12} + C$

단계 10.2.3

$\frac{1}{12}$ 에 $\frac{8}{9}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{12 \cdot 9} u^{12} + C$

단계 10.2.4

$12$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{8}{108} u^{12} + C$

단계 10.2.5

$8$ 및 $108$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.5.1

$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 (2)}{108} u^{12} + C$

단계 10.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 10.2.5.2.1

$108$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

단계 10.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 27} u^{12} + C$

단계 10.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{117} u^{13} - \frac{2}{27} u^{12} + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $3 x + 8$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{117} {(3 x + 8)}^{13} - \frac{2}{27} {(3 x + 8)}^{12} + C$