미적분 예제

$\int t \ln (t + 1) d t$

단계 1

$u = \ln (t + 1)$ 이고 $d v = t$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (t + 1) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\ln (t + 1) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

단계 2.2

$\ln (t + 1)$ 와 $\frac{t^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t + 1} d t$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t + 1} d t)$

단계 4

$t^{2}$ 와 $\frac{1}{t + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t + 1} d t$

단계 5

$t^{2}$ 을 $t + 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$t$

$1$

$t^{2}$

$0 t$

$0$

단계 5.2

피제수 $t^{2}$ 의 고차항을 제수 $t$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$t$
	$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$

단계 5.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			+	$t^{2}$	+	$t$

단계 5.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $t^{2} + t$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$

단계 5.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$

단계 5.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$t$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

단계 5.7

피제수 $- t$ 의 고차항을 제수 $t$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$

단계 5.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					-	$t$	-	$1$

단계 5.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- t - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$

단계 5.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$t$	-	$1$
$t$	+	$1$		$t^{2}$	+	$0 t$	+	$0$
			-	$t^{2}$	-	$t$
					-	$t$	+	$0$
					+	$t$	+	$1$
							+	$1$

단계 5.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t - 1 + \frac{1}{t + 1} d t$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\int t d t + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $t$ 를 $t$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} t^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C + \int - 1 d t + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

단계 8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{t + 1} d t)$

단계 9

먼저 $u = t + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$u = t + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 9.1.1

$t + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [t + 1]$

단계 9.1.2

합의 법칙에 의해 $t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 9.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 9.1.4

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 9.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 9.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \int \frac{1}{u} d u)$

단계 10

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C - t + C + \ln (| u |) + C)$

단계 11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (t + 1)$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

단계 11.2.2

$\frac{\ln (t + 1)}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) + C$

단계 11.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 11.2.4

$- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |))$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2}}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

단계 11.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

단계 11.2.6

$\frac{1}{2}$ 와 $t^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - \frac{1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |)) \cdot 2}{2} + C$

단계 11.2.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - 2 (\frac{1}{2}) (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.8

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 2}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.9

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.9.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.2.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + \frac{- 1}{1} (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 11.2.9.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| u |))}{2} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $t + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (\frac{t^{2}}{2} - t + \ln (| t + 1 |))}{2} + C$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (| t + 1 |)$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot \frac{2}{2})}{2} + C$

단계 13.2

$\ln (| t + 1 |)$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{\ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

단계 13.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + \ln (| t + 1 |) \cdot 2}{2})}{2} + C$

단계 13.4

$\ln (| t + 1 |)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - (- t + \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2})}{2} + C$

단계 13.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} - - t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

단계 13.6

$- - t$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + 1 t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

단계 13.6.2

$t$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |)}{2}}{2} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (t + 1) t^{2} + t - \frac{1}{2} (t^{2} + 2 \ln (| t + 1 |))) + C$