미적분 예제

$\int x \arcsin (x^{2}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \arcsin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

$\arcsin (u_{1})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\arcsin (u_{1})}{2} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \arcsin (u_{1}) d u_{1}$

단계 4

$w = \arcsin (u_{1})$ 이고 $dv = 1$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int u_{1} \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

단계 5

$u_{1}$ 와 $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{u_{1}}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} d u_{1})$

단계 6

먼저 $u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 6.1

$u_{2} = 1 - {u_{1}}^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 6.1.1

$1 - {u_{1}}^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - {u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.2

미분합니다.

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단계 6.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - {u_{1}}^{2}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.2.2

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.3

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 6.1.3.1

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- {u_{1}}^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

단계 6.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 u_{1})$

단계 6.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 u_{1}$

단계 6.1.4

$0$ 에서 $2 u_{1}$ 을 뺍니다.

$- 2 u_{1}$

단계 6.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} (- \frac{1}{2}) d u_{2})$

단계 7.2

$\frac{1}{\sqrt{u_{2}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{\sqrt{u_{2}} \cdot 2} d u_{2})$

단계 7.3

$\sqrt{u_{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - \int - \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 8

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} - - \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + 1 \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 9.2

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \int \frac{1}{2 \sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 10

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u_{2}}} d u_{2})$

단계 11

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 11.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{2}}^{\frac{1}{2}}} d u_{2})$

단계 11.2

${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{2})$

단계 11.3

${({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 11.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{2})$

단계 11.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{2})$

단계 11.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} \int {u_{2}}^{- \frac{1}{2}} d u_{2})$

단계 12

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$

단계 13

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + \frac{1}{2} (2 {u_{2}}^{\frac{1}{2}} + C))$ 을 $\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) u_{1} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 14.1

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {u_{2}}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $1 - {u_{1}}^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {u_{1}}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 14.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - {(x^{2})}^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

${(x^{2})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 15.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{2 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 15.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 15.3

$\frac{1}{2} (\arcsin (x^{2}) x^{2})$ 을 곱합니다.

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단계 15.3.1

$\arcsin (x^{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2} x^{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 15.3.2

$\frac{\arcsin (x^{2})}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}} + C$

단계 15.4

$\frac{1}{2}$ 와 ${(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{{(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

단계 15.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

단계 15.6

$\arcsin (x^{2}) x^{2} + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$\frac{x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}}{2} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} \arcsin (x^{2}) + {(1 - x^{4})}^{\frac{1}{2}}) + C$