미적분 예제

$\int x \arctan (7 x) d x$

단계 1

$u = \arctan (7 x)$ 이고 $d v = x$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\arctan (7 x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\arctan (7 x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 2.2

$\arctan (7 x)$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{7}{49 x^{2} + 1} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$x^{2}$ 와 $\frac{7}{49 x^{2} + 1}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 7}{49 x^{2} + 1} d x)$

단계 4.2

$x^{2}$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{7 x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 5

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (7 \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - 7 (\frac{1}{2}) \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 6.2

$- 7$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- 7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 6.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{x^{2}}{49 x^{2} + 1} d x$

단계 7

$x^{2}$ 을 $49 x^{2} + 1$ 로 나눕니다.

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단계 7.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$49 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

단계 7.2

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $49 x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$\frac{1}{49}$
	$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

단계 7.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					+	$x^{2}$	+	$0$	+	$\frac{1}{49}$

단계 7.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 + \frac{1}{49}$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$

단계 7.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$\frac{1}{49}$
$49 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
					-	$x^{2}$	-	$0$	-	$\frac{1}{49}$
									-	$\frac{1}{49}$

단계 7.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} \int \frac{1}{49} - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\int \frac{1}{49} d x + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C + \int - \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

단계 10

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \int \frac{1}{49 (49 x^{2} + 1)} d x)$

단계 11

$\frac{1}{49}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{49}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - (\frac{1}{49} \int \frac{1}{49 x^{2} + 1} d x))$

단계 12

$49 x^{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{1 + 49 x^{2}} d x)$

단계 13

$1 + 49 x^{2}$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.1

$1$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 x^{2}} d x)$

단계 13.2

$49 x^{2}$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})} d x)$

단계 13.3

$49 (\frac{1}{49}) + 49 (x^{2})$ 에서 $49$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} \int \frac{1}{49 (\frac{1}{49} + x^{2})} d x)$

단계 14

$\frac{1}{49}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{49}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49} (\frac{1}{49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

$\frac{1}{49}$ 에 $\frac{1}{49}$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{49 \cdot 49} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

단계 15.2

$49$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{\frac{1}{49} + x^{2}} d x)$

단계 16

$\frac{1}{49}$ 을 ${(\frac{1}{7})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} \int \frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}} d x)$

단계 17

$\frac{1}{{(\frac{1}{7})}^{2} + x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C$ 입니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (\frac{1}{\frac{1}{7}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

단계 18

간단히 합니다.

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단계 18.1

간단히 합니다.

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단계 18.1.1

$\frac{1}{7}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (1 \cdot 7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

단계 18.1.2

$7$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{7}}) + C))$

단계 18.1.3

$\frac{1}{7}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (x \cdot 7) + C))$

단계 18.1.4

$x$ 의 왼쪽으로 $7$ 이동하기

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{1}{49} x + C - \frac{1}{2401} (7 \arctan (7 x) + C))$

단계 18.2

간단히 합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) + C$

단계 18.3

간단히 합니다.

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단계 18.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot \frac{2}{2} + C$

단계 18.3.2

$- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2}}{2} + \frac{- \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343}) \cdot 2}{2} + C$

단계 18.3.4

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 2 (\frac{7}{2}) (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.5

$- 2$ 와 $\frac{7}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 2 \cdot 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.6

$- 2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 14}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.7

$- 14$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.3.7.1

$- 14$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.7.2

공약수로 약분합니다.

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단계 18.3.7.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 (1)} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{2 \cdot - 7}{2 \cdot 1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + \frac{- 7}{1} (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.3.7.2.4

$- 7$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 (\frac{x}{49} - \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4

간단히 합니다.

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단계 18.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - 7 \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4.2

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 18.4.2.1

$- 7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 (- 1) \frac{x}{49} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4.2.2

$49$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4.2.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} + 7 \cdot - 1 \frac{x}{7 \cdot 7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4.2.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 (- \frac{\arctan (7 x)}{343})}{2} + C$

단계 18.4.3

$7$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 18.4.3.1

$- \frac{\arctan (7 x)}{343}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - 7 \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

단계 18.4.3.2

$- 7$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 (- 1) \frac{- \arctan (7 x)}{343}}{2} + C$

단계 18.4.3.3

$343$ 에서 $7$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

단계 18.4.3.4

공약수로 약분합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 7 \cdot - 1 \frac{- \arctan (7 x)}{7 \cdot 49}}{2} + C$

단계 18.4.3.5

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - \frac{- \arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

단계 18.4.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 18.4.4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} - - \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

단계 18.4.4.2

$- - \frac{\arctan (7 x)}{49}$ 을 곱합니다.

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단계 18.4.4.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + 1 \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

단계 18.4.4.2.2

$\frac{\arctan (7 x)}{49}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{\arctan (7 x) x^{2} - \frac{x}{7} + \frac{\arctan (7 x)}{49}}{2} + C$

단계 19

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\arctan (7 x) x^{2} - \frac{1}{7} x + \frac{1}{49} \arctan (7 x)) + C$