미적분 예제

$\int \sin (π x) \cos (π x) d x$

단계 1

먼저 $u_{2} = \sin (π x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = π \cos (π x) d x$ 이므로 $\frac{1}{π} d u_{2} = \cos (π x) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \sin (π x)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\sin (π x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (π x)]$

단계 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ , $g (x) = π x$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $π x$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.1.2.2

$\sin (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\cos (u_{1})$ 입니다.

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $π x$ 로 바꿉니다.

$\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$π$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $π x$ 의 미분은 $π \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\cos (π x) (π \cdot 1)$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\cos (π x) π$

단계 1.1.3.3.2

$\cos (π x) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$π \cos (π x)$

단계 1.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u_{2} \frac{1}{π} d u_{2}$

단계 2

$u_{2}$ 와 $\frac{1}{π}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u_{2}}{π} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{π}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{π}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{π} \int u_{2} d u_{2}$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{π} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ 을 $\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{π} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\frac{1}{π}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{π \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

단계 5.2.2

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 π} {u_{2}}^{2} + C$

단계 6

$u_{2}$ 를 모두 $\sin (π x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 π} \sin^{2} (π x) + C$