미적분 예제

$π \int_{0}^{π} \sin^{2} (x) d x$

단계 1

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$π \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

단계 2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (\frac{1}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x)$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$\frac{π}{2} \int_{0}^{π} 1 - \cos (2 x) d x$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{π}{2} (\int_{0}^{π} d x + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

단계 5

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} - \cos (2 x) d x)$

단계 6

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x)$

단계 7

먼저 $u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$u = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 7.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 7.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 7.2

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

단계 7.3

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 7.4

$u = 2 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 π$

단계 7.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

단계 7.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

단계 8

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

단계 9

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u))$

단계 10

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{π}{2} (x]_{0}^{π} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$π$ , $0$ 일 때, $x$ 값을 계산합니다.

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{2 π})$

단계 11.2

$2 π$ , $0$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{π}{2} ((π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (2 π)) - \sin (0)))$

단계 11.3

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - \sin (0)))$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) - 0))$

단계 12.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} (\sin (2 π) + 0))$

단계 12.3

$\sin (2 π)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{1}{2} \sin (2 π))$

단계 12.4

$\sin (2 π)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (2 π)}{2})$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 뺍니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{\sin (0)}{2})$

단계 13.1.2

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{π}{2} (π - \frac{0}{2})$

단계 13.2

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{π}{2} (π - 0)$

단계 13.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{2} (π + 0)$

단계 13.4

$π$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{π}{2} π$

단계 13.5

$\frac{π}{2} π$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.5.1

$\frac{π}{2}$ 와 $π$ 을 묶습니다.

$\frac{π π}{2}$

단계 13.5.2

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{π^{1} π}{2}$

단계 13.5.3

$π$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{π^{1} π^{1}}{2}$

단계 13.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{π^{1 + 1}}{2}$

단계 13.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{π^{2}}{2}$

단계 14

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π^{2}}{2}$

소수 형태:

$4.93480220 \dots$