미적분 예제

$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{1}{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{1}{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.1.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{e^{u}}{\frac{1}{u}} d u$

단계 2.2

$\frac{1}{u}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int - e^{u} u d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int e^{u} u d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

단계 5

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- (u e^{u} - (e^{u} + C))$

단계 6

간단히 합니다.

$- (u e^{u} - e^{u}) + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $\frac{1}{x}$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{1}{x} e^{\frac{1}{x}} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{x}$ 와 $e^{\frac{1}{x}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - e^{\frac{1}{x}}) + C$

단계 8.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} - - e^{\frac{1}{x}} + C$

단계 8.3

$- - e^{\frac{1}{x}}$ 을 곱합니다.

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단계 8.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + 1 e^{\frac{1}{x}} + C$

단계 8.3.2

$e^{\frac{1}{x}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x} + e^{\frac{1}{x}} + C$