미적분 예제

$\int_{4}^{7} \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1} d t$

단계 1

먼저 $u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d t} [\sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}]$ 을 $\frac{d}{d t} [2 t + 1]$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1.1

$4 t^{2}$ 을 ${(2 t)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1}]$

단계 1.1.2.1.2

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 4 t + 1^{2}}]$

단계 1.1.2.1.3

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$4 t = 2 \cdot (2 t) \cdot 1$

단계 1.1.2.1.4

다항식을 다시 씁니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t)}^{2} + 2 \cdot (2 t) \cdot 1 + 1^{2}}]$

단계 1.1.2.1.5

$a = 2 t$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\frac{d}{d t} [\sqrt{{(2 t + 1)}^{2}}]$

단계 1.1.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 1.1.3

합의 법칙에 의해 $2 t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.4

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.5

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.6

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.7

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.8

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sqrt{4 \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

지수를 더하여 $4$ 에 $4^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.3.1.1

$4$ 에 $4^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1.1.1

$4$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1} \cdot 4^{2} + 4 \cdot 4 + 1}$

단계 1.3.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{lower} = \sqrt{4^{1 + 2} + 4 \cdot 4 + 1}$

단계 1.3.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \sqrt{4^{3} + 4 \cdot 4 + 1}$

단계 1.3.2

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 4 \cdot 4 + 1}$

단계 1.3.3

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \sqrt{64 + 16 + 1}$

단계 1.3.4

$64$ 를 $16$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \sqrt{80 + 1}$

단계 1.3.5

$80$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \sqrt{81}$

단계 1.3.6

$81$ 을 $9^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{lower} = \sqrt{9^{2}}$

단계 1.3.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{lower} = 9$

단계 1.4

$u = \sqrt{4 t^{2} + 4 t + 1}$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 7^{2} + 4 \cdot 7 + 1}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$7$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = \sqrt{4 \cdot 49 + 4 \cdot 7 + 1}$

단계 1.5.2

$4$ 에 $49$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \sqrt{196 + 4 \cdot 7 + 1}$

단계 1.5.3

$4$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \sqrt{196 + 28 + 1}$

단계 1.5.4

$196$ 를 $28$ 에 더합니다.

$u_{upper} = \sqrt{224 + 1}$

단계 1.5.5

$224$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = \sqrt{225}$

단계 1.5.6

$225$ 을 $15^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{upper} = \sqrt{15^{2}}$

단계 1.5.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$u_{upper} = 15$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 15$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{9}^{15} u \frac{1}{2} d u$

단계 2

$u$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{9}^{15} \frac{u}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{9}^{15} u d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{9}^{15}$

단계 5

대입하여 간단히 합니다.

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단계 5.1

$15$ , $9$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 15^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$15$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 225 - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

단계 5.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $225$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 9^{2})$

단계 5.2.3

$9$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{1}{2} \cdot 81)$

단계 5.2.4

$81$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - 81 (\frac{1}{2}))$

단계 5.2.5

$- 81$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} + \frac{- 81}{2})$

단계 5.2.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{225}{2} - \frac{81}{2})$

단계 5.2.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{225 - 81}{2}$

단계 5.2.8

$225$ 에서 $81$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{144}{2}$

단계 5.2.9

$144$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.1

$144$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2}$

단계 5.2.9.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.9.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 (1)}$

단계 5.2.9.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 72}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.9.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{72}{1}$

단계 5.2.9.2.4

$72$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \cdot 72$

단계 5.2.10

$\frac{1}{2}$ 와 $72$ 을 묶습니다.

$\frac{72}{2}$

단계 5.2.11

$72$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.11.1

$72$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 36}{2}$

단계 5.2.11.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.11.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot 36}{2 (1)}$

단계 5.2.11.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 1}$

단계 5.2.11.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{36}{1}$

단계 5.2.11.2.4

$36$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$36$

단계 6