미적분 예제

$\int 5 x e^{- 4 x} d x$

단계 1

$5$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $5$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 \int x e^{- 4 x} d x$

단계 2

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$5 (x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (x (- \frac{e^{- 4 x}}{4}) - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

단계 3.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x)$

단계 3.3

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \int - \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

단계 4

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - - \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + 1 \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

단계 5.2

$\int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \int \frac{e^{- 4 x}}{4} d x)$

단계 6

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{- 4 x} d x)$

단계 7

먼저 $u = - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 7.1

$u = - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 7.1.1

$- 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 7.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 7.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 7.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 7.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u)$

단계 8.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} \int - \frac{e^{u}}{4} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- \int \frac{e^{u}}{4} d u))$

단계 10

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u} d u)$

단계 11.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u} d u)$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$5 (- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u} + C))$ 을 $5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$5 (- \frac{1}{4} x e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$x$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{x}{4} e^{- 4 x} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 13.2.2

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{x}{4}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{1}{16} e^{u}) + C$

단계 13.2.3

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{16}$ 을 묶습니다.

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{u}}{16}) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $- 4 x$ 로 바꿉니다.

$5 (- \frac{e^{- 4 x} x}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}) + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$5 (- \frac{1}{4} e^{- 4 x} x - \frac{1}{16} e^{- 4 x}) + C$