미적분 예제

$\int_{- 8}^{0} x e^{- 4 x} d x$

단계 1

$u = x$ 이고 $d v = e^{- 4 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \frac{1}{4} e^{- 4 x})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$e^{- 4 x}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{e^{- 4 x}}{4})]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 2.2

$x$ 와 $\frac{e^{- 4 x}}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \int_{- 8}^{0} - \frac{1}{4} e^{- 4 x} d x$

단계 3

$- \frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - (- \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + 1 (\frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x)$

단계 4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{- 8}^{0} e^{- 4 x} d x$

단계 5

먼저 $u = - 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 5.1

$u = - 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$- 4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

단계 5.1.2

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 4 \cdot 1$

단계 5.1.4

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 4$

단계 5.2

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 4 \cdot - 8$

단계 5.3

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 32$

단계 5.4

$u = - 4 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 4 \cdot 0$

단계 5.5

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 5.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 32$

$u_{upper} = 0$

단계 5.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 6.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} \int_{32}^{0} - \frac{e^{u}}{4} d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- \int_{32}^{0} \frac{e^{u}}{4} d u)$

단계 8

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} + \frac{1}{4} (- (\frac{1}{4} \int_{32}^{0} e^{u} d u))$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

단계 9.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} \int_{32}^{0} e^{u} d u$

단계 10

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{x e^{- 4 x}}{4}]_{- 8}^{0} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

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단계 11.1

$0$ , $- 8$ 일 때, $- \frac{x e^{- 4 x}}{4}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} e^{u}]_{32}^{0}$

단계 11.2

$0$ , $32$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{0 e^{- 4 \cdot 0}}{4}) + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.1

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- \frac{0 e^{0}}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- \frac{0 \cdot 1}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.3

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{0}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.4

$0$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.4.1

$0$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 (0)}{4} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.4.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{0}{1} + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.4.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.5

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{- 8 e^{- 4 \cdot - 8}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.6

$- 4$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$0 + \frac{- 8 e^{32}}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.7

$- 8$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.7.1

$- 8 e^{32}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.7.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.3.7.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 (1)} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.7.2.2

공약수로 약분합니다.

$0 + \frac{4 (- 2 e^{32})}{4 \cdot 1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.7.2.3

수식을 다시 씁니다.

$0 + \frac{- 2 e^{32}}{1} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.7.2.4

$- 2 e^{32}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$0 - 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.8

$0$ 에서 $2 e^{32}$ 을 뺍니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} ((e^{0}) - e^{32})$

단계 11.3.9

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} (1 - e^{32})$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} \cdot 1 - \frac{1}{16} (- e^{32})$

단계 12.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} - \frac{1}{16} (- e^{32})$

단계 12.1.3

$- \frac{1}{16} (- e^{32})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + 1 (\frac{1}{16}) e^{32}$

단계 12.1.3.2

$\frac{1}{16}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{1}{16} e^{32}$

단계 12.1.3.3

$\frac{1}{16}$ 와 $e^{32}$ 을 묶습니다.

$- 2 e^{32} - \frac{1}{16} + \frac{e^{32}}{16}$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 2 e^{32}$ 을 표현하기 위해 $\frac{16}{16}$ 을 곱합니다.

$- 2 e^{32} \cdot \frac{16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

단계 12.3

$- 2 e^{32}$ 와 $\frac{16}{16}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16}{16} + \frac{e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32}}{16} - \frac{1}{16}$

단계 12.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 2 e^{32} \cdot 16 + e^{32} - 1}{16}$

단계 12.6

$16$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 32 e^{32} + e^{32} - 1}{16}$

단계 12.7

$- 32 e^{32}$ 를 $e^{32}$ 에 더합니다.

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

단계 13

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{- 31 e^{32} - 1}{16}$

소수 형태:

$- 152990735353944$

단계 14