미적분 예제

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} + \frac{3}{y} d y$

단계 1

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 3}^{- 2} 2 e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 2

$2$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{- 3}^{- 2} e^{- 0.1 y} d y + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 3

먼저 $u = - 0.1 y$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 0.1 d y$ 이므로 $\frac{1}{- 0.1} d u = d y$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = - 0.1 y$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d y}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$- 0.1 y$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d y} [- 0.1 y]$

단계 3.1.2

$- 0.1$ 은 $y$ 에 대해 일정하므로 $y$ 에 대한 $- 0.1 y$ 의 미분은 $- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$ 입니다.

$- 0.1 \frac{d}{d y} [y]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 는 $n y^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 0.1 \cdot 1$

단계 3.1.4

$- 0.1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 0.1$

단계 3.2

$u = - 0.1 y$ 의 $y$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - 0.1 \cdot - 3$

단계 3.3

$- 0.1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0.3$

단계 3.4

$u = - 0.1 y$ 의 $y$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - 0.1 \cdot - 2$

단계 3.5

$- 0.1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0.2$

단계 3.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0.3$

$u_{upper} = 0.2$

단계 3.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int_{0.3}^{0.2} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 4.2

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{0.1}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{0.3}^{0.2} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 6

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{0.3}^{0.2} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 7

$\frac{1}{0.1}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{0.1}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u) + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{0.1}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 8.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{2}{0.1} \int_{0.3}^{0.2} e^{u} d u + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 9

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + \int_{- 3}^{- 2} \frac{3}{y} d y$

단계 10

$3$ 은 $y$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{y} d y$

단계 11

$\frac{1}{y}$ 를 $y$ 에 대해 적분하면 $\ln (| y |)$ 입니다.

$- \frac{2}{0.1} e^{u}]_{0.3}^{0.2} + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

단계 12

대입하여 간단히 합니다.

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단계 12.1

$0.2$ , $0.3$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 (\ln (| y |)]_{- 3}^{- 2})$

단계 12.2

$- 2$ , $- 3$ 일 때, $\ln (| y |)$ 값을 계산합니다.

$- \frac{2}{0.1} ((e^{0.2}) - e^{0.3}) + 3 ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |))$

단계 12.3

괄호를 제거합니다.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |))$

단계 13

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$- \frac{2}{0.1} (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$2$ 을 $0.1$ 로 나눕니다.

$- 1 \cdot 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

단계 14.2

$- 1$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$- 20 (e^{0.2} - e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

단계 14.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- 20 e^{0.2} - 20 (- e^{0.3}) + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

단계 14.4

$- 1$ 에 $- 20$ 을 곱합니다.

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |})$

단계 14.5

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 2$ 과 $0$ 사이의 거리는 $2$ 입니다.

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{| - 3 |})$

단계 14.6

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $- 3$ 과 $0$ 사이의 거리는 $3$ 입니다.

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

단계 15

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- 20 e^{0.2} + 20 e^{0.3} + 3 \ln (\frac{2}{3})$

소수 형태:

$1.35272566 \dots$

단계 16