미적분 예제

$\int_{- 3}^{- 1} 2 x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

단계 1

$2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{- 3}^{- 1} x {(5 - x^{2})}^{3} d x$

단계 2

먼저 $u = 5 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$u = 5 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

$5 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [5 - x^{2}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $5 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 2.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 2.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 2.2

$u = 5 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 5 - {(- 3)}^{2}$

단계 2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$- 3$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{lower} = 5 - 1 \cdot 9$

단계 2.3.1.2

$- 1$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 5 - 9$

단계 2.3.2

$5$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = - 4$

단계 2.4

$u = 5 - x^{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 5 - {(- 1)}^{2}$

단계 2.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1

지수를 더하여 $- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1.1

$- 1$ 에 ${(- 1)}^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1.1.1.1

$- 1$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}$

단계 2.5.1.1.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{1 + 2}$

단계 2.5.1.1.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 5 + {(- 1)}^{3}$

단계 2.5.1.2

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{upper} = 5 - 1$

단계 2.5.2

$5$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 4$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 4$

$u_{upper} = 4$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$2 \int_{- 4}^{4} u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 3.2

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$2 \int_{- 4}^{4} - \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 4

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (- \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u)$

단계 5

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 2 \int_{- 4}^{4} \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u)$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\frac{1}{2}$ 와 $- 2$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 7.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 1}{1} \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 7.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- \int_{- 4}^{4} u^{3} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{- 4}^{4})$

단계 9

$\frac{1}{4}$ 와 $u^{4}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{- 4}^{4})$

단계 10

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$4$ , $- 4$ 일 때, $\frac{u^{4}}{4}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$4$ 를 $4$ 승 합니다.

$- (\frac{256}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.2

$256$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.1

$256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (\frac{64}{1} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.2.2.4

$64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (64 - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

단계 10.2.3

$- 4$ 를 $4$ 승 합니다.

$- (64 - \frac{256}{4})$

단계 10.2.4

$256$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.1

$256$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4})$

단계 10.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.4.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

단계 10.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$- (64 - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

단계 10.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- (64 - \frac{64}{1})$

단계 10.2.4.2.4

$64$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- (64 - 1 \cdot 64)$

단계 10.2.5

$- 1$ 에 $64$ 을 곱합니다.

$- (64 - 64)$

단계 10.2.6

$64$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$- 0$

단계 10.2.7

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0$

단계 11