미적분 예제

$\int 3 x e^{0.5 x^{2}} d x$

단계 1

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$3 \int x e^{0.5 x^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = x e^{0.5 x^{2}} d x$ 이므로 $\frac{1}{x e^{0.5 x^{2}}} d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = e^{0.5 x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$e^{0.5 x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [e^{0.5 x^{2}}]$

단계 2.1.2

$f (x) = e^{x}$ , $g (x) = 0.5 x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $0.5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

단계 2.1.2.2

$a$ = $e$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

단계 2.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $0.5 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$e^{0.5 x^{2}} \frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$

단계 2.1.3

미분합니다.

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단계 2.1.3.1

$0.5$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $0.5 x^{2}$ 의 미분은 $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

단계 2.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$e^{0.5 x^{2}} (0.5 (2 x))$

단계 2.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.3.3.1

$2$ 에 $0.5$ 을 곱합니다.

$e^{0.5 x^{2}} (1 x)$

단계 2.1.3.3.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e^{0.5 x^{2}} x$

단계 2.1.3.3.3

$e^{0.5 x^{2}} x$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$x e^{0.5 x^{2}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$3 \int d u_{2}$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$3 (u_{2} + C)$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

간단히 합니다.

$3 u_{2} + C$

단계 4.2

$u_{2}$ 를 모두 $e^{0.5 x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$3 e^{0.5 x^{2}} + C$