미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{x}{2}) d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{x}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{2} d x$ 이므로 $2 d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{x}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{x}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{2}$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $\frac{x}{2}$ 의 미분은 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2}$

단계 1.2

$u = \frac{x}{2}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{0}{2}$

단계 1.3

$0$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{x}{2}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

단계 1.5.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 1.5.2.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{2 \cdot 2}$

단계 1.5.2.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

단계 2.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 2 d u$

단계 2.3

$\sec^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sec^{2} (u) d u$

단계 3

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

단계 4

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$2 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

단계 5

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\tan (u)$ 값을 계산합니다.

$2 (\tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$2 (1 - \tan (0))$

단계 6.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$2 (1 - 0)$

단계 6.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$2 (1 + 0)$

단계 6.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 \cdot 1$

단계 6.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$