미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{r}{4 + r^{2}} d r$

단계 1

먼저 $u = 4 + r^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 r d r$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = r d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 + r^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 + r^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [4 + r^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 + r^{2}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d r} [4] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

단계 1.1.3

$4$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 r$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 r$ 에 더합니다.

$2 r$

단계 1.2

$u = 4 + r^{2}$ 의 $r$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 4 + 0$

단계 1.3.2

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = 4 + r^{2}$ 의 $r$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 4 + {(\frac{π}{2})}^{2}$

단계 1.5

각 항을 간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\frac{π}{2}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{2^{2}}$

단계 1.5.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 4 + \frac{π^{2}}{4}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{2 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}} \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{4}^{4 + \frac{π^{2}}{4}}$

단계 5

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ , $4$ 일 때, $\ln (| u |)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 + \frac{π^{2}}{4} |) - \ln (| 4 |))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$

단계 6.2

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{| 4 + \frac{π^{2}}{4} |}{| 4 |})}{2}$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$4 + \frac{π^{2}}{4}$ 은 약 $6.4674011$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\frac{\ln (\frac{4 + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

단계 7.1.2

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{4 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

단계 7.1.3

$4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

단계 7.1.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{4 \cdot 4 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

단계 7.1.5

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{| 4 |})}{2}$

단계 7.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $4$ 사이의 거리는 $4$ 입니다.

$\frac{\ln (\frac{\frac{16 + π^{2}}{4}}{4})}{2}$

단계 7.3

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4})}{2}$

단계 7.4

$\frac{16 + π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 7.4.1

$\frac{16 + π^{2}}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{4 \cdot 4})}{2}$

단계 7.4.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{\ln (\frac{16 + π^{2}}{16})}{2}$

소수 형태:

$0.24023999 \dots$

단계 9