미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{- \cos (x)} \sin (x) d x$

단계 1

먼저 $u = - \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sin (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- \cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

단계 1.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- \cos (x)$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.3

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- - \sin (x)$

단계 1.1.4

곱합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \sin (x)$

단계 1.1.4.2

$\sin (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\sin (x)$

단계 1.2

$u = - \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = - \cos (0)$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$\cos (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

단계 1.3.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 1$

단계 1.4

$u = - \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = - \cos (\frac{π}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{upper} = - 0$

단계 1.5.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 0$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 0$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{- 1}^{0} e^{u} d u$

단계 2

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$e^{u}]_{- 1}^{0}$

단계 3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.1

$0$ , $- 1$ 일 때, $e^{u}$ 값을 계산합니다.

$(e^{0}) - e^{- 1}$

단계 3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$1 - e^{- 1}$

단계 4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$1 - \frac{1}{e}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$1 - \frac{1}{e}$

소수 형태:

$0.63212055 \dots$