미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (t)}{\sqrt{1 + \sin^{2} (t)}} d t$

단계 1

먼저 $u = \sin (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (t) d t$ 이므로 $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \sin (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sin (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

단계 1.1.2

$\sin (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\cos (t)$ 입니다.

$\cos (t)$

단계 1.2

$u = \sin (t)$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sin (0)$

단계 1.3

$\sin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \sin (t)$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

단계 1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} d u$

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $u = \tan (t_{1})$ 라고 하면 $d u = \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t_{1} \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\sec^{2} (t_{1})$ 는 양수입니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

단계 3

항을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\sqrt{1 + \tan^{2} (t_{1})}$ 을 간단히 합니다.

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단계 3.1.1

항을 다시 배열합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t_{1}) + 1}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

단계 3.1.2

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t_{1})}} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

단계 3.1.3

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} \sec^{2} (t_{1}) d t_{1}$

단계 3.2

$\sec (t_{1})$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

$\sec^{2} (t_{1})$ 에서 $\sec (t_{1})$ 를 인수분해합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

단계 3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\sec (t_{1})} (\sec (t_{1}) \sec (t_{1})) d t_{1}$

단계 3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec (t_{1}) d t_{1}$

단계 4

$\sec (t_{1})$ 를 $t_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 입니다.

$\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

단계 5

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\ln (| \sec (t_{1}) + \tan (t_{1}) |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| \sec (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + \tan (\frac{π}{4}) |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

단계 6.2

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| \sec (0) + \tan (0) |)$

단계 6.3

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + \tan (0) |)$

단계 6.4

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 + 0 |)$

단계 6.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\ln (| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |) - \ln (| 1 |)$

단계 6.6

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 7.1.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 7.1.1.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 7.1.1.2.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.2.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.2.6.5

지수값을 계산합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{| \frac{2 \sqrt{2}}{2} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.1.3.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| 1 |})$

단계 7.1.2

$\sqrt{2} + 1$ 은 약 $2.41421356$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| 1 |})$

단계 7.2

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

단계 7.3

$\sqrt{2} + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

단계 8

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\ln (\sqrt{2} + 1)$

소수 형태:

$0.88137358 \dots$