미적분 예제

$\int x^{3} \sin (x^{2}) d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u \sin (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u}{2} \sin (u) d u$

단계 2.2

$\frac{u}{2}$ 와 $\sin (u)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u \sin (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int u \sin (u) d u$

단계 4

$w = u$ 이고 $dv = \sin (u)$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - \int - \cos (u) d u)$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) - - \int \cos (u) d u)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + 1 \int \cos (u) d u)$

단계 6.2

$\int \cos (u) d u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \int \cos (u) d u)$

단계 7

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$

단계 8

$\frac{1}{2} (u (- \cos (u)) + \sin (u) + C)$ 을 $\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (- u \cos (u) + \sin (u)) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}) + \sin (x^{2})) + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2})) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

단계 10.2

$\frac{1}{2} (- x^{2} \cos (x^{2}))$ 을 곱합니다.

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단계 10.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2}}{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

단계 10.2.2

$\cos (x^{2})$ 와 $\frac{x^{2}}{2}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$

단계 10.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (x^{2})$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

단계 10.4

$- \frac{\cos (x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (x^{2})}{2} + \frac{\sin (x^{2})}{2} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (x^{2}) + C$