미적분 예제

$\int x^{2} \sin (4 x) d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = \sin (4 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\cos (4 x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x^{2} (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{\cos (4 x)}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) (2 x) d x$

단계 3

$- \frac{1}{4} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{4} \cdot 2 \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- 2 (\frac{1}{4}) \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 2}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.3

$- 2$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 (- 1)}{4} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (\frac{- 1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} - (- \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.5

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x)$

단계 4.6

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} \int \cos (4 x) (x) d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = \cos (4 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} \sin (4 x)) - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (4 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (x \frac{\sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{\sin (4 x)}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{1}{4} \sin (4 x) d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{4}$ 와 $\sin (4 x)$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \int \frac{\sin (4 x)}{4} d x)$

단계 7

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - (\frac{1}{4} \int \sin (4 x) d x))$

단계 8

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 8.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 8.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \sin (u) \frac{1}{4} d u)$

단계 9

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{\sin (u)}{4} d u)$

단계 10

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int \sin (u) d u)$

단계 11.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} \int \sin (u) d u)$

단계 12

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} - \frac{1}{16} (- \cos (u) + C))$ 을 $- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

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단계 13.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot \frac{4}{4} + C$

단계 13.2.2

$\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x^{2} \cos (4 x)}{4} + \frac{\frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

단계 13.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{1}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16}) \cdot 4}{4} + C$

단계 13.2.4

$4$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{4}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 13.2.5

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 13.2.5.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.5.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 13.2.5.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 13.2.5.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{2}{1} (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 13.2.5.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (u)}{16})}{4} + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 (\frac{x \sin (4 x)}{4} + \frac{\cos (4 x)}{16})}{4} + C$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{4} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

단계 15.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 (2)} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

단계 15.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + 2 \frac{x \sin (4 x)}{2 \cdot 2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

단계 15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{16}}{4} + C$

단계 15.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 15.3.1

$16$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 (8)}}{4} + C$

단계 15.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + 2 \frac{\cos (4 x)}{2 \cdot 8}}{4} + C$

단계 15.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- x^{2} \cos (4 x) + \frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

분자를 간단히 합니다.

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단계 16.1.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- x^{2} \cos (4 x)$ 을 표현하기 위해 $\frac{8}{8}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} - x^{2} \cos (4 x) \cdot \frac{8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.2

$- x^{2} \cos (4 x)$ 와 $\frac{8}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8}{8} + \frac{\cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.4

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{x \sin (4 x)}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x)}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.5

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 16.1.5.1

$\frac{x \sin (4 x)}{2}$ 에 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.5.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4}{8} + \frac{- x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.7

인수분해된 형태로 $\frac{x \sin (4 x) \cdot 4 - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}$ 를 다시 씁니다.

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단계 16.1.7.1

$x \sin (4 x)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\frac{\frac{4 \cdot (x \sin (4 x)) - x^{2} \cos (4 x) \cdot 8 + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.1.7.2

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}}{4} + C$

단계 16.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4} + C$

단계 16.3

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8} \cdot \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

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단계 16.3.1

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

단계 16.3.2

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)}{32} + C$

단계 16.4

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{32} (4 x \sin (4 x) - 8 x^{2} \cos (4 x) + \cos (4 x)) + C$