미적분 예제

$\int x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

단계 1

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1.1

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 2.1.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

단계 2.2.2

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

단계 2.2.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

단계 2.2.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 3

$\sin^{2} (t)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (t)$ 를 $1 - \cos^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

단계 5

먼저 $u = \cos (t)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (t) d t$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u = \cos (t)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 5.1.1

$\cos (t)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

단계 5.1.2

$\cos (t)$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $- \sin (t)$ 입니다.

$- \sin (t)$

단계 5.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

단계 6

$(- 1 + u^{2}) u^{2}$ 을 곱합니다.

$\int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$- 1 u^{2}$ 을 $- u^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

단계 7.2

지수를 더하여 $u^{2}$ 에 $u^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

단계 7.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u$ 를 모두 $\cos (t)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t) + C$

단계 13.2

$t$ 를 모두 $\arcsin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (x)) + C$