미적분 예제

$\int \sqrt{2 - 3 x} d x$

단계 1

먼저 $u = 2 - 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 d x$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 - 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 - 3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $2 - 3 x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.1.2.2

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 3 x$ 의 미분은 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 3 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 3$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$- 3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{3}) d u$

단계 2.2

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\int - \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

단계 5

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- \frac{1}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$\frac{2}{3}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{3 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7.2.2

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$- \frac{2}{9} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $2 - 3 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{2}{9} {(2 - 3 x)}^{\frac{3}{2}} + C$