미적분 예제

$\int x^{2} e^{11 x} d x$

단계 1

$u = x^{2}$ 이고 $d v = e^{11 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x^{2} (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{11}$ 와 $e^{11 x}$ 을 묶습니다.

$x^{2} \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

단계 2.2

$x^{2}$ 와 $\frac{e^{11 x}}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} (2 x) d x$

단계 3

$\frac{1}{11} \cdot 2$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{11} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \cdot 2 \int e^{11 x} (x) d x)$

단계 4

$\frac{1}{11}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} \int e^{11 x} (x) d x$

단계 5

$u = x$ 이고 $d v = e^{11 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x (\frac{1}{11} e^{11 x}) - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{11}$ 와 $e^{11 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (x \frac{e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

단계 6.2

$x$ 와 $\frac{e^{11 x}}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{1}{11} e^{11 x} d x)$

단계 6.3

$\frac{1}{11}$ 와 $e^{11 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \int \frac{e^{11 x}}{11} d x)$

단계 7

$\frac{1}{11}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{11}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - (\frac{1}{11} \int e^{11 x} d x))$

단계 8

먼저 $u = 11 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 11 d x$ 이므로 $\frac{1}{11} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 8.1

$u = 11 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 8.1.1

$11 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [11 x]$

단계 8.1.2

$11$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $11 x$ 의 미분은 $11 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$11 \frac{d}{d x} [x]$

단계 8.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$11 \cdot 1$

단계 8.1.4

$11$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$11$

단계 8.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int e^{u} \frac{1}{11} d u)$

단계 9

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} \int \frac{e^{u}}{11} d u)$

단계 10

$\frac{1}{11}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{11}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11} (\frac{1}{11} \int e^{u} d u))$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{1}{11}$ 에 $\frac{1}{11}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{11 \cdot 11} \int e^{u} d u)$

단계 11.2

$11$ 에 $11$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} \int e^{u} d u)$

단계 12

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} (e^{u} + C))$ 을 $\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{11} x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

단계 13.2

간단히 합니다.

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단계 13.2.1

$\frac{1}{11}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{11} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

단계 13.2.2

$\frac{x^{2}}{11}$ 와 $e^{11 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

단계 13.2.3

$\frac{1}{11}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x}{11} e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

단계 13.2.4

$\frac{x}{11}$ 와 $e^{11 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{1}{121} e^{u}) + C$

단계 13.2.5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{121}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) + C$

단계 13.2.6

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ 을 표현하기 위해 $\frac{11}{11}$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot \frac{11}{11} + C$

단계 13.2.7

$- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})$ 와 $\frac{11}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x}}{11} + \frac{- \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

단계 13.2.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - \frac{2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121}) \cdot 11}{11} + C$

단계 13.2.9

$11$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 11 (\frac{2}{11}) (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.10

$- 11$ 와 $\frac{2}{11}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 11 \cdot 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.11

$- 11$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 22}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.12

$- 22$ 및 $11$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.12.1

$- 22$ 에서 $11$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.12.2

공약수로 약분합니다.

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단계 13.2.12.2.1

$11$ 에서 $11$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 (1)} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.12.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{11 \cdot - 2}{11 \cdot 1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.12.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 13.2.12.2.4

$- 2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{u}}{121})}{11} + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $11 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{x e^{11 x}}{11} - \frac{e^{11 x}}{121})}{11} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{11} (x^{2} e^{11 x} - 2 (\frac{1}{11} x e^{11 x} - \frac{1}{121} e^{11 x})) + C$