미적분 예제

$\int \frac{\ln (x)}{x \sqrt{1 + \ln (x)}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 + \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 + \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 + \ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + \ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.3

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$0 + \frac{1}{x}$

단계 1.1.4

$0$ 를 $\frac{1}{x}$ 에 더합니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\ln (e^{u - 1})}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

간단히 합니다.

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단계 2.1.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $u - 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$\int \frac{(u - 1) \ln (e)}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.1.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$\int \frac{(u - 1) \cdot 1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.1.3

$u - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u - 1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{u - 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (u - 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (u - 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (u - 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(u - 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 8.2

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $1 + \ln (x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{3} {(1 + \ln (x))}^{\frac{3}{2}} - 2 {(1 + \ln (x))}^{\frac{1}{2}} + C$