미적분 예제

$\int \cos^{7} (x) d x$

단계 1

$\cos^{6} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \cos^{6} (x) \cos (x) d x$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {\cos (x)}^{2 (3)} \cos (x) d x$

단계 2.2

${\cos (x)}^{2 (3)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cos^{2} (x)$ 를 $1 - \sin^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{3} \cos (x) d x$

단계 4

먼저 $u = \sin (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \cos (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \sin (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\sin (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

단계 4.1.2

$\sin (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\cos (x)$ 입니다.

$\cos (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(1 - u^{2})}^{3} d u$

단계 5

${(1 - u^{2})}^{3}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

이항정리 이용

$\int 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

단계 5.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

단계 5.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot 1^{2} (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

단계 5.4

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 {(- u^{2})}^{2} + {(- u^{2})}^{3} d u$

단계 5.5

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) + {(- u^{2})}^{3} d u$

단계 5.6

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} {(- u^{2})}^{2} d u$

단계 5.7

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int 1 \cdot (1 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 1) (- u^{2}) + 3 \cdot 1 (- u^{2} (- u^{2})) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.8

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.9

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.10

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2} (- u^{2})) d u$

단계 5.11

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2}) d u$

단계 5.12

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1 u^{2}) u^{2} d u$

단계 5.13

괄호를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- 1 \cdot - 1) u^{2} u^{2} d u$

단계 5.14

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 1 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.15

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.16

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.17

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + 3 \cdot 1 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.18

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 + 3 \cdot - 1 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.19

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.20

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.21

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} - 3 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.22

$- 3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.23

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.24

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - 1 \cdot - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.25

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.26

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 5.27

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{2} u^{2}) u^{2} d u$

단계 5.28

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{2 + 2} u^{2} d u$

단계 5.29

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4} u^{2} d u$

단계 5.30

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - (u^{4} u^{2}) d u$

단계 5.31

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{4 + 2} d u$

단계 5.32

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\int 1 - 3 u^{2} + 3 u^{4} - u^{6} d u$

단계 5.33

$1$ 와 $- 3 u^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - 3 u^{2} + 1 + 3 u^{4} - u^{6} d u$

단계 5.34

$1$ 를 옮깁니다.

$\int - 3 u^{2} + 3 u^{4} + 1 - u^{6} d u$

단계 5.35

$- 3 u^{2}$ 와 $3 u^{4}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 - u^{6} d u$

단계 5.36

$1$ 를 옮깁니다.

$\int 3 u^{4} - 3 u^{2} - u^{6} + 1 d u$

단계 5.37

$- 3 u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int 3 u^{4} - u^{6} - 3 u^{2} + 1 d u$

단계 5.38

$3 u^{4}$ 와 $- u^{6}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int - u^{6} + 3 u^{4} - 3 u^{2} + 1 d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{6} d u + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int 3 u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

단계 9

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 \int u^{4} d u + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int - 3 u^{2} d u + \int d u$

단계 11

$- 3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 \int u^{2} d u + \int d u$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

단계 13

상수 규칙을 적용합니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

$\frac{1}{7}$ 와 $u^{7}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{1}{5} u^{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

단계 14.1.2

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

단계 14.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C) + 3 (\frac{u^{5}}{5} + C) - 3 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

단계 14.2

간단히 합니다.

$- \frac{u^{7}}{7} + \frac{3 u^{5}}{5} - u^{3} + u + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $\sin (x)$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\sin^{7} (x)}{7} + \frac{3 \sin^{5} (x)}{5} - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{7} \sin^{7} (x) + \frac{3}{5} \sin^{5} (x) - \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$