미적분 예제

$\int \frac{1}{{(1 - 6 t)}^{4}} d t d t$

단계 1

먼저 $u = 1 - 6 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 6 d t$ 이므로 $- \frac{1}{6} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 - 6 t$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - 6 t$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [1 - 6 t]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 6 t$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d t} [- 6 t]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [- 6 t]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 6$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $- 6 t$ 의 미분은 $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$0 - 6 \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 6 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 6$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$- 6$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{- 6} d u d t$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u^{4}} (- \frac{1}{6}) d u d t$

단계 2.2

$\frac{1}{u^{4}}$ 에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u^{4} \cdot 6} d u d t$

단계 2.3

$u^{4}$ 의 왼쪽으로 $6$ 이동하기

$\int - \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{6 u^{4}} d u d t$

단계 4

$\frac{1}{6}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{6}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u) d t$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

간단히 합니다.

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단계 5.1.1

$d$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u t$

단계 5.1.2

$t$ 와 $\frac{d}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t d}{6} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

단계 5.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.2.1

$u^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{t d}{6} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

단계 5.2.2

${(u^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{t d}{6} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{t d}{6} \int u^{- 4} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ 가 됩니다.

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

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단계 7.1.1

$u^{- 3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t d}{6} (- \frac{u^{- 3}}{3} + C)$

단계 7.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 3}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$

단계 7.2

$- \frac{t d}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}} + C)$ 을 $- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{6} t d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

단계 7.3

간단히 합니다.

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단계 7.3.1

$t$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{t}{6} d (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

단계 7.3.2

$d$ 와 $\frac{t}{6}$ 을 묶습니다.

$- \frac{d t}{6} (- \frac{1}{3 u^{3}}) + C$

단계 7.3.3

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 \frac{d t}{6} \frac{1}{3 u^{3}} + C$

단계 7.3.4

$\frac{d t}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{d t}{6} \cdot \frac{1}{3 u^{3}} + C$

단계 7.3.5

$\frac{d t}{6}$ 에 $\frac{1}{3 u^{3}}$ 을 곱합니다.

$\frac{d t}{6 (3 u^{3})} + C$

단계 7.3.6

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{d t}{18 u^{3}} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $1 - 6 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{d t}{18 {(1 - 6 t)}^{3}} + C$